淡々、粛々…など、二回繰り返す言葉は「畳語（ジョウゴ）」というんだそうですが、
それに似たもので、以下のような二回繰り返す言葉があります。
http://hakuteisha.co.jp/books/8-194-2.pdf
【 ・・・・「先生先生している｣ は まったく別の構文で，「子供子供している， シャネルシャネルしている｣と同様に 「いかにも それらしい様子をしている｣ という意味である。 】
これは何と呼ばれて、 いつ頃から あるものなんでしょうか？
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kambe1rouさん
辞書には下記の言葉しかないが、「畳語」の一種と思います。
◎こどもこども・する【子供子供】
いかにも子どもっぽい様子をしている。
（1902年明治35年 正岡子規の作品に用例あり）
ー出典：精選版 日本国語大辞典ー
「田中先生はあまり先生先生していないから話しやすいらしく，昼休みともなればたいてい誰かしら相談に訪れている。」の「先生先生していない＝いかにも先生ですという様子ではない｣も同じ構文です。