体の定義:
(K,+)がアーベル群である
(K,・)が半群である
分配律が成り立つ
(K\{0},・)が(K,+)と異なる単位元を持つアーベル群である
Kを任意の体、0を和における単位元、1を積における単位元とする
0^(-1)∈Kと仮定する
逆元の定義より、0^(-1)・0=1
単位元の定義より、0=0+0、体の定義よりa・(b+c)=ab+ac,∀a,b,c∈Kが成り立つので、
0^(-1)・0=0^(-1)・(0+0)=0^(-1)・0+0^(-1)・0
⇒ (0^(-1)・0)-(0^(-1)・0)=(0^(-1)・0)+(0^(-1)・0)-(0^(-1)・0)
⇒ 0=(0^(-1)・0)
よって、1=0
しかし、体の定義より、1≠0
これは、1=0であることに矛盾する
よって、0^(-1)∉K
体の定義は講義ノートを写したけど、英語のwikiでも同じになってる
https://en.wikipedia.org/wiki/Field_(mathematics)
Associativity of addition and multiplication: a + (b + c) = (a + b) + c, and a · (b · c) = (a · b) · c.
Commutativity of addition and multiplication: a + b = b + a, and a · b = b · a.
Additive and multiplicative identity: there exist two different elements 0 and 1 in F such that a + 0 = a and a · 1 = a.
Additive inverses: for every a in F, there exists an element in F, denoted −a, called the additive inverse of a, such that a + (−a) = 0.
Multiplicative inverses: for every a ≠ 0 in F, there exists an element in F, denoted by a−1 or 1/a, called the multiplicative inverse of a, such that a · a−1 = 1.
Distributivity of multiplication over addition: a · (b + c) = (a · b) + (a · c).
このスレッドは書き込み数が1000を超えました！