体の定義:
(K,+)がアーベル群である
(K,・)が半群である
分配律が成り立つ
(K\{0},・)が(K,+)と異なる単位元を持つアーベル群である
Kを任意の体、0を和における単位元、1を積における単位元とする
0^(-1)∈Kと仮定する
逆元の定義より、0^(-1)・0=1
単位元の定義より、0=0+0、体の定義よりa・(b+c)=ab+ac,∀a,b,c∈Kが成り立つので、
0^(-1)・0=0^(-1)・(0+0)=0^(-1)・0+0^(-1)・0
⇒ (0^(-1)・0)-(0^(-1)・0)=(0^(-1)・0)+(0^(-1)・0)-(0^(-1)・0)
⇒ 0=(0^(-1)・0)
よって、1=0
しかし、体の定義より、1≠0
これは、1=0であることに矛盾する
よって、0^(-1)∉K